Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast:

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet?

Kombinatoorika:

Kombinatoorika 6. september 2012. a. Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium

Mis on kombinatoorika?:

Mis on kombinatoorika? Kombinatoorika on matemaatika haru, mis võimaldab leida erinevate võimaluste arvu etteantud hulgast mingis mõttes eristatavate alamhulkade moodustamiseks Moodustatavad alamhulgad võivad erineda: elementide järjestuse poolest elementide endi poolest elementide endi ja nende järjestuse poolest

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet? :

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet?

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet? :

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet?

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet? :

Meie matemaatikarühmas on 15 õpilast Mitmel erineval moel on võimalik rühma üles rivistada? Mitu erinevat pinginaabrite paari on võimalik meie rühmas moodustada? Mitu erinevat võimalust on kahe õpilase kutsumiseks tahvli juurde lahendama kahte erinevat ülesannet?

Kombinatoorika põhireeglid:

Kombinatoorika põhireeglid Kombinatoorika põhireegliteks on liitmisreegel ja korrutamisreegel Liitmisreeglit kasutatakse siis, kui valik toimub põhimõttel kas … või … Korrutamisreeglit kasutatakse siis, kui valik toimub põhimõttel nii … kui ka …

Liitmisreegel ehk liitmislause:

Liitmisreegel ehk liitmislause Kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m . Näiteks: Kui lapsel on antud võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mänguasi, siis pole kahtlust, et erinevaid valikuvõimalusi on 3 + 2 = 5. Kui lapsel tuleb valida üks nukk kolmest või üks pall neljast või üks auto viiest, siis erinevate valikuvõimaluste arv on 3 + 4 + 5 = 12.

Korrutamisreegel ehk korrutamislause:

Korrutamisreegel ehk korrutamislause Kui mingi objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n • m . Näiteks: Kui laps võib võtta 3 erineva auto seast ühe ja 2 erineva nuku seast ühe , on erinevaid valikuvõimalusi 3  2 = 6. Erinevaid neljakohalisi arve on 9 · 10 · 10 · 10 = 9000, sest esimesele kohale saab erinevaid numbreid valida 9 erineval viisil, igale järgnevale kohale aga 10 erineval viisil.

Kombinatoorika põhimõisted:

Kombinatoorika põhimõisted Kombinatoorika tähtsamad mõisted on: permutatsioonid kombinatsioonid variatsioonid Neid kolme nimetatakse ühiselt ühenditeks

Vaatleme näidet:

Vaatleme näidet Lapse käes on neli kaarti tähtedega A, E, K, R. Leiame, mitmel viisil saab ta neid järjestada (mitu neljatähelist sõna saab ta neist moodustada) ja millised need järjestused on. Esimest tähte saab ta valida 4 erineval viisil, teist kolmel, kolmandat kahel ja neljandat ühel viisil. Korrutamislause põhjal on erinevate sõnade arv 4 • 3 • 2 • 1 = 24. Need on: AEKR EAKR KAER RAEK AERK EARK KARE RAKE AKER EKAR KERA REKA AKRE EKRA KEAR REAK AREK ERAK KRAE RKEA ARKE ERKA KREA RKAE Kombinatoorika seisukohalt oleme saanud permutatsioonid neljast elemendist.

Permutatsioonid:

Permutatsioonid Permutatsioonideks n elemendist nimetatakse n elemendi kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Permutatsioonide arv n elemendist, mida tähistatakse sümboliga P n , on korrutamislause põhjal n • ( n - 1 ) • ( n – 2 ) • ... • 3 • 2 • 1. Et kõigi naturaalarvude korrutist arvust 1 kuni arvuni n nimetatakse arvu n faktoriaaliks ja tähistatakse sümboliga n! siis P n = n • (n - 1 ) • (n – 2) • ... • 3 • 2 • 1= n! P 4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 P 1 = 1! = 1 Tagasi tunnialguse küsimuse juurde

PowerPoint Presentation:

On 15! = 1 307 674 368 000 erinevat võimalust 15-liikmelise grupi üles rivistamiseks

Permutatsioonid:

Permutatsioonid Näiteks 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24. NB! P 1 = 1! = 1 P 0 = 0! = 1

Vaatleme näidet:

Vaatleme näidet Neli reisijat sisenevad vagunisse, kus on 6 vaba kohta. Mitmel erineval viisil võivad nad istuda vabadele kohtadele? Proovime leida erinevate istumisviiside arvu proovimise teel pole oluline, kes missuguse koha peal istub A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Kombinatoorika seisukohalt on tegu kombinatsioonidega kuuest elemendist nelja elemendi kaupa.

Kombinatsioonid:

Kombinatsioonid Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k < n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Kombinatsioonide arvu n elemendist k-kaupa tähistatakse sümboliga C või sümboliga ( ), mida loetakse ka n üle k ja seda arvutatakse valemiga: NB! Kehtib seos C = C . k n n k k n n - k n Tagasi tunnialguse küsimuse juurde

PowerPoint Presentation:

On erinevat võimalust pinginaabrite paari moodustamiseks

Newtoni binoomvalem:

Newtoni binoomvalem Ka he arvu summa ruudu ja kuubi valemi üldistus : Suurusi C , kus k = 0, 1 , 2, ..., n nimetatakse binoomkordajateks Kui Newtoni binoomvalemis võtta a = b = l, siis saame, et binoomkordajate summa on 2 n , st. k n

Vaatleme näidet:

Vaatleme näidet Mitu erinevat kolmekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, kui iga numbrit võib ühes arvus kasutada vaid üks kord. Selles näites on vaja neljast numbrist moodustada erinevaid osahulki, mis koosnevaid kolmest numbrist numbrite järjestus on antud juhul oluline 123 ei ole sama mis 231 Kombinatoorika seisukohalt on tegu variatsioonidega neljast elemendist kolme elemendi kaupa.

Variatsioonid:

Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k < n) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Üldiselt tähistatakse V või A Arvutatakse valemiga k n k n

Tagasi näite juurde:

Tagasi näite juurde Mitu erinevat kolmekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, kui iga numbrit võib ühes arvus kasutada vaid üks kord. Lahendame ülesande kõigepealt korrutamislause abil: Kolmekohalise arvu esimese numbri valikuks on võimalusi 4. Kui esimene number on valitud, on teise numbri valikuks võimalusi 3; kui kaks esimest numbrit on valitud, on kolmanda numbri valikuks võimalusi 2. Et valik toimub põhimõttel nii esimene kui ka teine, kui ka kolmas number, siis esitatud tingimusi rahuldavaid kolmekohalisi arve on 4 • 3 • 2 = 24. Kasutades kombinatsioone: Tagasi tunnialguse küsimuse juurde

PowerPoint Presentation:

On 15! = 1 307 674 368 000 erinevat võimalust 15-liikmelise grupi üles rivistamiseks

Kuidas vahet teha?:

Kuidas vahet teha? Kaks k-elemendilist kombinatsiooni on erinevad siis, kui neil on vähemalt üks erinev element. Kaks k-elemendilist variatsiooni on aga erinevad siis, kui neil on vähemalt üks erinev element või kui neil on samad elemendid, kuid erinevas järjestuses.