Koostöö ülesanne

05/12/201106/12/2011Priit Lisa kommentaar

Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi 20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu $\frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}$

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk $\frac{1}{5}$ põllust.

$\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}$

Süsteem:

$\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}$

avaldan sellest x-i

$\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}$

Asendan x-i teises võrrandis.

$\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360$

Süsteemi lahendid:

x=360 ja y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: $\frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6}$ , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: ${12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5}$ , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

Natuke võrrandite lahendamisest

17/11/2011Kaido Lisa kommentaar

Pealkiri: Kordamine | Võrrandid
Alapealkiri: Erinevate võrrandite lahendamisest
Keel: eesti
Autor: Kaido Kariste
Faili tüüp: pdf
Maht: 4

Järgnevas failis on toodud tööleht mõningate võrranditega ja nende võrrandite lahendamise võtted.

META: lineaarvõrrandi lahendamine, murdvõrrandi lahendamine, juurvõrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldava võrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldav võrrand, määramispiirkond, f(x)=g(x)

ISBN koodist

12/11/201113/11/2011Kaido 1 kommentaar

Eile oli selline huvitav kuupäev nagu 11.11.11. Hiljuti on meil olnud väga palju kuupäevi, mis on esitatavad kahendsüsteemis, kuid antud kuupäev on viimane kahendsüsteemi kuupäev kuni järgmise sajandini. Järgmine on 01.01.00 ehk 1. jaanuar 2100. Rääkides arvust 11, siis sellel on üks huvitav kasutusala, millest ma varem ei olnud kuulnud. Kui me ostame tänapäeval raamatu, võime sealt tagant leida triipkoodi ja siis selle kohalt tähtede ja numbrite kombinatsiooni ISBN. See on rahvusvaheline raamatustandardinumber (International Standard Book Number), mille pikkus on 10-13 kohta. meid huvitavad rohkem need10-kohalised arvud. Koodi sisu on lihtne. esimene number näitab riiki, kus raamat avaldatid, siis tuleb kirjastuse kood ja siis raamatu kood. Sarnane tõlgendus isikukoodiga, ehk tegu on raamatu isikukoodiga. Viimast arvu ISBN-is nimetatakse kontrollnumbriks.

Loe edasi!

Murdvõrrandid

07/11/201107/11/2011Priit Lisa kommentaar

Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

$\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}$

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

$\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0$

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks $\mathbb{R}$ \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

$\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0$

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on $x+1$ . Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

$\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0$

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

$2x^2 + x+1 -2 = 0$

$2x^2 +x -1= 0$

$x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

$x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}$

$x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}$

$x= \frac{-1\pm 3}{4}$

$x_1 = 0,5$

$x_2 = -1,$ võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?

Kanname andmed tabelisse.

Olukord	Aega kulub basseini täitmiseks(h)	Ühes tunnis täidab (osa)	Ühe tunniga täitis
peapump	x	1	$\frac{1}{x}$
tagavarapump	x+6	1	$\frac{1}{x+6}$

Ajaline summa: $\frac{1}{4}$

Koostame antud andmetest võrrandi $\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} =\frac{1}{4}$

Määramispiirkonnaks on etteantud võrrandil $\mathbb{R}$ \ {-6;0}

Viime kõik liikmed ühele poole, nii, et paremale poole jääks null

$\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} -\frac{1}{4}=0$

$\frac{4x+24+4x-x^2-6x}{4x(x+6)}=0\Rightarrow\frac{-x^2+2x+24}{4x(x+6)}=0$

Lahendame lugejas oleva võrrandi.

$-x^2-2x-24=0/:(-1)$

$x^2-2x-24=0$

Lahendades Viete teoreemi abil, saame

$\begin{cases}x_1 + x_2 =-p\\x_1\cdot x_2 =q\\ \end{cases}$

$\begin{cases}x_1 + x_2 =2\\x_1\cdot x_2=-24\\ \end{cases}$

millest saame, et

$6 + -4 = 2$

$6 \cdot -4 =-24$

Lahenditeks on $x_1 = 6$ ja $x_2 = -4$ . -4 ei sobi ülesande tekstiga (aeg ei saa olla negatiivne)

Vastus: Peapumbal kulub aega 6 tundi.

Meta: murdvõrrand, võõrlahend, murdvõrrandi lahendamine, määramispiirkond, koostöö ülesanne, koostööülesande lahendamine,

Võrrandite samaväärsus

02/11/201107/11/2011Priit Lisa kommentaar

Kaht sama tundmatut (või samu tundmatuid) sisaldavat võrrandit nimetatakse samaväärseks, kui nendel on kõik lahendid ühised või neil mõlemal lahendid puuduvad.

Näide

Võrrandid $2(x-5)=6$ ja $x-5=3$ on samaväärsed, sest mõlemal on üks lahend $x=8$

Samuti ka $\frac{1}{x-1}=0$ ja $x^2 +8=0$ , kuna neil mõlemail lahendid puuduvad.

Samaväärsed ei ole $x^2 4=0$ , $2x =4$ , sest ühel võrrandil on lahend, mida teisel ei ole ( $x=-2$ )

Võrrandite samaväärsust tähistab märk $\Leftrightarrow$

Kirja pannes näeks see nii välja

$2(x-5)=6\Leftrightarrow x-5=3$

Võrrandite samaväärsusteisendused

1. Võrrandite pooli võib vahetada.

$f(x)=g(x) \Leftrightarrow g(x)=f(x)$

2. Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, mis omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas (Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poole, muutes üleviidava liikme märgi vastupidiseks).

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)\pm m(x = g(x)\pm m(x)$

3. Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow cf(x)=cg(x), c\neq 0$ ;

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x):c=g(x):c, c\neq0$

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn:AS Koolibri

META: võrrandite samaväärsus

Negatiivsetest arvudest

30/10/2011Kaido Lisa kommentaar

Negatiivsete arvude ajalugu on üks huvitavamaid peatükke matemaatilise mõtte järjepidevas arengus, illustreerides matemaatiliste mõistete muutumist. see annab tunnistust ühiskonna tootlike jõudude arengu ja matemaatika progressi vastastikusest seosest, kinnitab veel kord, et teooria väärtuse peamine kriteerium on praktika: inimkond ei tahtnud ju tunnistada negatiivsete arvude olemasolu seni, kuni polnud tekkinud konkreetset, ühiskondlikest nõudeist ja tootmisest tulenevat vajadust nende kasutamiseks.

Kreeka matemaatika

Vanaaja matemaatikud ei tegelenud üldse negatiivsete arvudega. kreeka matemaatikud tunnistasid ainult naturaalarve ja kuigi nad tundsid murde, ei pidanud nad neid arvudeks, vaid madalama järgu ühikuteks, midagi selles laadis nagu kõige väiksemad mõõdu-, kaalu- või rahaühikud. esimene kreeka matemaatik, kes arvas murrud võrdseks teiste arvudega, oli Diophantos Aleksandriast. Diophantos eristas “liidetavaid” ja “lahutatavaid” ning tähistas mahaarvatavad arvud sümboliga $\psi$ . Ta käsitles ka “liidetavate” ja “lahutatavate” korrutamise reeglit. Kuid Diophantos piirdus ainult nende juhtumitega, mil vähendatav oli vähendajast suurem ja mis veel tähtsam: ta seadis vaadeldavatele võrranditele tingimuseks, et võrrandite kordajad oleksid alati positiivsed arvud. kui sattuski tulema negatiivne lahend, luges Diophantos selle vääraks ja jättis lihtsalt kõrvale

India matemaatika

India matemaatikud jõudsid tehetes negatiivsete arvudega veidi kaugemale. Brahmagupta (sünd 598.a.) kasutas arvutustes tänapäeva mõistes negatiivsetele arvudele sarnaseid arve, mida ta tähistas punktiga arvu kohal. india matemaatikutel olid eri nimetused positiivsete ja negatiivsete arvude tarvis, need tähendasid vastavalt “varandust” ja “võlga”. India matemaatikud tundsid ka võrrandite negatiivseid lahendeid, kuid jätsid need kõrvale, sest inimesed ei tunnistanud negatiivseid arve.

Loe edasi!

Archimedese palimpsest

29/10/201129/10/2011Kaido Lisa kommentaar

Vana-Kreeka matemaatiku Archimedese ümber on aegade jooksul tekkinud väga palju kohati muinasjutulist kõmu. Tema muutis üldkasutatavaks sõna “eureka”, tema kasutas peegleid roomlaste laevade süütamiseks ja Rooma sõdurid tapsid ta aastal 212 eKr rannas, kui Archimedes joonistas liivale diagramme. Vähe sellest, et need jutud ei vasta päris tõele, takistavad nad Archimedese saavutuste täielikku mõistmist, mis on inspireerinud Leonardo da Vincit, Galileod ja Isaac Newtonit. Mõningad on pidanud teda matemaatilise analüüsi esimeste ideede autoriks.

Loe edasi!

Võrdus, samasus, võrrand

25/10/201130/10/2011Priit 1 kommentaar

Võrrandite lahendamisega puutume alateadlikult kokku iga päev. Näiteks poe leti juures arvutades mitu kg banaane või õunu 2 euro eest saab, majapidamises kommunaalteenuste eest makstes ja isegi reede õhtuti mõnelt lõbusalt olemiselt koju tulles. Vaatame selleks ühte ülesannet.

Võrrandite edukaks koostamiseks ja lahendamiseks peame esmalt tutvuma mõningate võrranditega seotud mõistetega.

Loe edasi!

Avaldised

23/10/201123/10/2011Priit Lisa kommentaar

Ratsionaalavaldised

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga.

Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega.

Avaldist kujul $\displaystyle\frac{a}{b}$ , kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks.

Ratsionaalavaldiseks lihtsustamine tähendab tema teisendamist võimalikult lihtsaks algebraliseks murruks või täisavaldiseks.

Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega. Need tehted on määratud järgmiste valemitega:

$\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

$\displaystyle(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

$\displaystyle\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$

$\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ , kus $k\neq 0$

Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Selleks tegurdatakse kõigi murdude nimetajad. Üheks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgemad astmed. Laiendaja leidmiseks jagatakseühine nimetaja vastava murru nimetajaga.

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

$\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , kus $x_1;_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Irratsionaalavaldised

Nii nagu reaalarvud jaotuvad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks, nii jagunevad ka avaldised ratsionaalavaldisteks ja irratsionaal- ehk juuravaldisteks. Vastupidiselt ratsionaalavaldistele sisaldavad irratsionaalavaldised ka juurimistehet.

Irratsionaalsete muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamisel jääb kehtima kõik, mis on seotud ratsionaalavaldiste teisendamisega. Samuti jääb kehtima ka kõik astendamise ja juurimisega seotu. Oluliseks erinevuseks irratsionaalavaldiste puhul on vaid see, et ilma avaldistele tingimusi juurde lisamata eeldatakse tavaliselt, et muutujad avaldistes omavad vaid selliseid väärtusi, mille korral kõik juuritavad on positiivsed.

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Näited:

1) $\sqrt[3]{a^2\cdot b}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{ab}-1)$

2) $a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)$

3) $2+\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^3 +(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}(\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{4}(\sqrt[3]{2}+1)$

4) $\sqrt{x+1}-x-1=\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1})^2=\sqrt{x+1}(1-\sqrt{x+1})$

5) $\sqrt{ab}-\sqrt[3]{a^2\cdot b}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^3}-\sqrt[6]{a^4\cdot b^2}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}(\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a})$

Murru nimetaja vabastamist irratsionaalsuset

See on teisendus, kus osa irratsionaalseid algebralisi murde laiendatakse nii, et juured kaovad murru nimetajast.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: avaldis, irratsionaalavaldis, ratsionaalavaldis, juuravaldis, avaldiste lihtsustamine, täisavaldis, murdavaldis,

Ruut ja asjad. Ruutvõrrandi ajaloost

22/10/201123/10/2011Kaido Lisa kommentaar

Sõna “algebra” tuleb ühe Araabiakeelse raamatu pealkirjast, mis on kirjutatud aastal 825. Autor, Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi, sündis ise aladel, mis kannab praegu Usbekistani nime. Suure osa elust veetis ta siiski Baghdadis, kus kaliif oli rajanud omamoodi teadusteakadeemia, mida kutsuti “Tarkuse majaks”. Al-Khwarizmi tegeles paljude aladega. Ta kirjutas geograafia, matemaatika kui ka astronoomia alaseid raamatuid. Kuid tema raamat algebrast on saanud siiani kõige kuulsamaks.

Al-Khwarizmi raamat algab arutlusega ruutvõrrandist. Nimelt vaatleb ta ühte kindlat probleemi.

Miskit tõstetud ruutu ja 10 juurt sellest samast suurusest on võrdne 39 dirhemiga. Kui öelda lihtsamalt, mida peab tõstma ruutu, mis siis 10 võrra kasvades oma enda juure võrra, on kokku 39.

Loe edasi

NUMBRID

Matemaatikaalane blogi

Koostöö ülesanne

Natuke võrrandite lahendamisest

ISBN koodist

Murdvõrrandid